Teoria de Arakelov

Na matemática, a teoria de Arakelov (ou geometria de Arakelov) é uma abordagem para a Geometria diofantina, nomeada em homenagem a Suren Arakelov. É usada para estudar equações diofantinas em dimensões superiores.

Contexto A principal motivação por trás da geometria de Arakelov é que existe uma correspondência entre ideais primos

p

∈

Spec

(

Z

)

{\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}

e lugares finitos

v

p

:

Q

∗

→

R

{\displaystyle v_{p}:\mathbb {Q} ^{*}\to \mathbb {R} }

, mas também existe um lugar no infinito

v

∞

{\displaystyle v_{\infty }}

, dado pela valorização arquimediana, que não possui um ideal primo correspondente. A geometria de Arakelov fornece uma técnica para compactificar

Spec

(

Z

)

{\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}

em um espaço completo

Spec

(

Z

)

̄

{\displaystyle {\overline {{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}}}

que possui um primo situado no infinito. A construção original de Arakelov estuda uma dessas teorias, onde uma definição de divisores é construída para um esquema

X

{\displaystyle {\mathfrak {X}}}

de dimensão relativa 1 sobre

Spec

(

O

K

)

{\displaystyle {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}

de tal forma que ele se estende a uma Superfície de Riemann

X

∞

=

X

(

C

)

{\displaystyle X_{\infty }={\mathfrak {X}}(\mathbb {C} )}

para toda valorização no infinito. Além disso, ele equipa essas superfícies de Riemann com métricas hermitianas em fibrados vetoriais holomorfos sobre

X (

C

)

{\displaystyle X(\mathbb {C} )}

, os pontos complexos de

X

{\displaystyle X}

. Essa estrutura hermitiana extra é aplicada como um substituto para a falha do esquema Spec(Z) em ser uma variedade completa. Note que existem outras técnicas para construir um espaço completo estendendo

Spec

(

Z

)

{\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}

, o que forma a base da geometria F1.

Definição original de divisores Seja

K

{\displaystyle K}

um corpo,

O

K

{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}

seu anel de inteiros, e

X

{\displaystyle X}

uma curva de gênero

g

{\displaystyle g}

sobre

K

{\displaystyle K}

com um modelo não singular

X

→

Spec

(

O

K

)

{\displaystyle {\mathfrak {X}}\to {\text{Spec}}({\mathcal {O}}_{K})}

, chamado de superfície aritmética. Além disso, seja

∞ : K →

C

{\displaystyle \infty :K\to \mathbb {C} }

uma inclusão de corpos (que supostamente representa um lugar no infinito). Seja também

X

∞

{\displaystyle X_{\infty }}

a superfície de Riemann associada a partir da mudança de base para

C

{\displaystyle \mathbb {C} }

. Usando esses dados, pode-se definir um c-divisor como uma combinação linear formal

D =

∑

i

k

i

C

i

+

∑

∞

λ

∞

X

∞

{\displaystyle D=\sum _{i}k_{i}C_{i}+\sum _{\infty }\lambda _{\infty }X_{\infty }}

onde

C

i

{\displaystyle C_{i}}

é um subconjunto fechado irredutível de

X

{\displaystyle {\mathfrak {X}}}

de codimensão 1,

k

i

∈

Z

{\displaystyle k_{i}\in \mathbb {Z} }

, e

λ

∞

∈

R

{\displaystyle \lambda _{\infty }\in \mathbb {R} }

, e a soma

∑

∞

λ

∞

X

∞

{\displaystyle \sum _{\infty }\lambda _{\infty }X_{\infty }}

representa a soma sobre cada imersão real de

K →

R

{\displaystyle K\to \mathbb {R} }

e sobre uma imersão para cada par de imersões complexas

K →

C

{\displaystyle K\to \mathbb {C} }

. O conjunto de c-divisores forma um grupo

Div

c

(

X

)

{\displaystyle {\text{Div}}_{c}({\mathfrak {X}})}

.

Resultados Arakelov (1974, 1975) definiu uma teoria da interseção nas superfícies aritméticas anexadas a curvas projetivas suaves sobre corpos de números, com o objetivo de provar certos resultados — conhecidos no caso de corpos de funções — para o caso de corpos de números. Faltings (1984) estendeu o trabalho de Arakelov estabelecendo resultados como um teorema de Riemann-Roch, uma Fórmula de Noether, um teorema do índice de Hodge e a não-negatividade da autointerseção do feixe dualizante neste contexto. A teoria de Arakelov foi usada por Paul Vojta (1991) para dar uma nova prova da Conjectura de Mordell, e por Faltings (1991) em sua prova da generalização de Serge Lang da conjectura de Mordell. Pierre Deligne (1987) desenvolveu um arcabouço mais geral para definir o emparelhamento de interseção definido em uma superfície aritmética sobre o espectro de um anel de inteiros por Arakelov. Shou-Wu Zhang (1992) desenvolveu uma teoria de fibrados em retas positivos e provou um teorema do tipo Nakai–Moishezon para superfícies aritméticas. Desenvolvimentos posteriores na teoria de fibrados em retas positivos por Zhang (1993, 1995a, 1995b) e Szpiro, Ullmo e Zhang (1997) culminaram em uma prova da Conjectura de Bogomolov por Ullmo (1998) e Zhang (1998). A teoria de Arakelov foi generalizada por Henri Gillet e Christophe Soulé para dimensões superiores. Ou seja, Gillet e Soulé definiram um emparelhamento de interseção em uma variedade aritmética. Um dos principais resultados de Gillet e Soulé é o teorema de Riemann-Roch aritmético (1992), uma extensão do Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch para variedades aritméticas. Para isso, define-se os grupos de Chow aritméticos

C H

p

( X )

{\displaystyle \mathrm {CH} ^{p}(X)}

de uma variedade aritmética

X

{\displaystyle X}

, e define-se as classes de Chern para fibrados vetoriais hermitianos sobre

X

{\displaystyle X}

assumindo valores nos grupos de Chow aritméticos. O teorema de Riemann-Roch aritmético então descreve como a classe de Chern se comporta sob a imagem direta (pushforward) de fibrados vetoriais sob um morfismo próprio de variedades aritméticas. Uma prova completa deste teorema só foi publicada recentemente por Gillet, Rössler e Soulé. A teoria da interseção de Arakelov para superfícies aritméticas foi desenvolvida ainda mais por Jean-Benoît Bost (1999). A teoria de Bost baseia-se no uso de funções de Green que, a menos de singularidades logarítmicas, pertencem ao espaço de Sobolev

L

1

2

{\displaystyle L_{1}^{2}}

. Neste contexto, Bost obtém um teorema do índice de Hodge aritmético e o utiliza para obter teoremas de Lefschetz para superfícies aritméticas.

Grupos de Chow aritméticos Um ciclo aritmético de codimensão

p

{\displaystyle p}

é um par

( Z , g )

{\displaystyle (Z,g)}

onde

Z ∈

Z

p

( X )

{\displaystyle Z\in Z^{p}(X)}

é um

p

{\displaystyle p}

-ciclo em

X

{\displaystyle X}

e

g

{\displaystyle g}

é uma corrente de Green para

Z

{\displaystyle Z}

, uma generalização de dimensão superior de uma função de Green. O grupo de Chow aritmético

C H

^

p

( X )

{\displaystyle {\widehat {\mathrm {CH} }}_{p}(X)}

de codimensão

p

{\displaystyle p}

é o quociente deste grupo pelo subgrupo gerado por certos ciclos "triviais".

O teorema de Riemann-Roch aritmético O Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch usual descreve como o Caráter de Chern

c h

{\displaystyle \mathrm {ch} }

se comporta sob a imagem direta (pushforward) de feixes, e afirma que

c h

(

f

∗

( E ) ) =

f

∗

(

c h

( E )

T d

X

/

Y

)

{\displaystyle \mathrm {ch} (f_{*}(E))=f_{*}(\mathrm {ch} (E)\mathrm {Td} _{X/Y})}

, onde

f

{\displaystyle f}

é um morfismo próprio de

X

{\displaystyle X}

para

Y

{\displaystyle Y}

e

E

{\displaystyle E}

é um fibrado vetorial sobre

f

{\displaystyle f}

. O teorema de Riemann-Roch aritmético é semelhante, exceto que a Classe de Todd é multiplicada por uma certa série de potências. O teorema de Riemann-Roch aritmético afirma

c h

^

(

f

∗

( [ E ] ) ) =

f

∗

(

c h

^

( E )

T d

^

R

(

T

X

/

Y

) )

{\displaystyle {\hat {\mathrm {ch} }}(f_{*}([E]))=f_{*}({\hat {\mathrm {ch} }}(E){\widehat {\mathrm {Td} }}^{R}(T_{X/Y}))}

onde

X

{\displaystyle X}

e

Y

{\displaystyle Y}

são esquemas projetivos regulares aritméticos.

f

{\displaystyle f}

é um morfismo próprio suave de

X

{\displaystyle X}

para

Y

{\displaystyle Y}

.

E

{\displaystyle E}

é um fibrado vetorial aritmético sobre

X

{\displaystyle X}

.

c h

^

{\displaystyle {\hat {\mathrm {ch} }}}

é o caráter de Chern aritmético.

T

X

/

Y

{\displaystyle T_{X/Y}}

é o fibrado tangente relativo.

T d

^

{\displaystyle {\hat {\mathrm {Td} }}}

é a classe de Todd aritmética.

T d

^

R

( E )

{\displaystyle {\hat {\mathrm {Td} }}^{R}(E)}

é

T d

^

( E ) ( 1 − ε ( R ( E ) ) )

{\displaystyle {\hat {\mathrm {Td} }}(E)(1-\epsilon (R(E)))}

.

R ( X )

{\displaystyle R(X)}

é a classe característica aditiva associada à série de potências formal

∑

m > 0

m

ímpar

X

m

m !

[

2

ζ ′

( − m ) + ζ ( − m )

(

1 1

+

1 2

+ ⋯ +

1 m

)

]

.

{\displaystyle \sum _{m>0 \atop m{\text{ ímpar}}}{\frac {X^{m}}{m!}}\left[2\zeta '(-m)+\zeta (-m)\left({1 \over 1}+{1 \over 2}+\cdots +{1 \over m}\right)\right].}

Ver também Teoria de Hodge-Arakelov Teoria de Hodge Teoria de Hodge p-ádica Grupo adélico

Referências

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Ligações externas Artigo original (em inglês) Arquivo de preprints sobre geometria de Arakelov (em inglês)