Soma de Kloosterman

Na matemática, uma soma de Kloosterman é um tipo particular de soma exponencial. Elas foram nomeadas em homenagem ao matemático holandês Hendrik Kloosterman, que as introduziu em 1926 quando adaptou o método do círculo de Hardy-Littlewood para abordar um problema envolvendo formas quadráticas diagonais definidas positivas em quatro variáveis, fortalecendo sua pesquisa de tese de 1924 sobre cinco ou mais variáveis. Sejam

a , b , m

{\displaystyle a,b,m}

números naturais. Então

K ( a , b ; m ) =

∑

gcd ( x , m ) = 1

0 ≤ x ≤ m − 1

e

2 π i

m

( a x + b

x

∗

)

.

{\displaystyle K(a,b;m)=\sum _{\stackrel {0\leq x\leq m-1}{\gcd(x,m)=1}}e^{{\frac {2\pi i}{m}}(ax+bx^{*})}.}

Aqui,

x

∗

{\displaystyle x^{*}}

é o inverso de

x

{\displaystyle x}

módulo

m

{\displaystyle m}

.

Contexto As somas de Kloosterman são um análogo em anéis finitos das funções de Bessel. Elas ocorrem (por exemplo) na expansão de Fourier de formas modulares. Existem aplicações para valores médios envolvendo a Função zeta de Riemann, primos em intervalos curtos, primos em progressões aritméticas, a teoria espectral de funções automórficas e tópicos relacionados.

Propriedades das somas de Kloosterman Se

a = 0

{\displaystyle a=0}

ou

b = 0

{\displaystyle b=0}

, então a soma de Kloosterman se reduz à Soma de Ramanujan.

K ( a , b ; m )

{\displaystyle K(a,b;m)}

depende apenas da classe de resíduos de

a

{\displaystyle a}

e

b

{\displaystyle b}

módulo

m

{\displaystyle m}

. Além disso,

K ( a , b ; m ) = K ( b , a ; m )

{\displaystyle K(a,b;m)=K(b,a;m)}

e

K ( a c , b ; m ) = K ( a , b c ; m )

{\displaystyle K(ac,b;m)=K(a,bc;m)}

se

gcd ( c , m ) = 1

{\displaystyle \gcd(c,m)=1}

. Seja

m =

m

1

m

2

{\displaystyle m=m_{1}m_{2}}

com

m

1

{\displaystyle m_{1}}

e

m

2

{\displaystyle m_{2}}

coprimos. Escolha

n

1

{\displaystyle n_{1}}

e

n

2

{\displaystyle n_{2}}

tais que

n

1

m

1

≡ 1

( mod

m

2

)

{\displaystyle n_{1}m_{1}\equiv 1{\pmod {m_{2}}}}

e

n

2

m

2

≡ 1

( mod

m

1

)

{\displaystyle n_{2}m_{2}\equiv 1{\pmod {m_{1}}}}

. Então

K ( a , b ; m ) = K

(

n

2

a ,

n

2

b ;

m

1

)

K

(

n

1

a ,

n

1

b ;

m

2

)

.

{\displaystyle K(a,b;m)=K\left(n_{2}a,n_{2}b;m_{1}\right)K\left(n_{1}a,n_{1}b;m_{2}\right).}

Isso reduz a avaliação das somas de Kloosterman ao caso em que

m =

p

k

{\displaystyle m=p^{k}}

para um número primo

p

{\displaystyle p}

e um inteiro

k ≥ 1

{\displaystyle k\geq 1}

. O valor de

K ( a , b ; m )

{\displaystyle K(a,b;m)}

é sempre um número real algébrico. De fato,

K ( a , b ; m )

{\displaystyle K(a,b;m)}

é um elemento do subcorpo

K ⊂

R

{\displaystyle K\subset \mathbb {R} }

que é a composição dos corpos

Q

(

ζ

p

α

+

ζ

p

α

− 1

)

{\displaystyle \mathbb {Q} \left(\zeta _{p^{\alpha }}+\zeta _{p^{\alpha }}^{-1}\right)}

onde

p

{\displaystyle p}

percorre todos os primos ímpares tais que

p

α

∥ m

{\displaystyle p^{\alpha }\parallel m}

e

Q

(

ζ

2

α − 1

+

ζ

2

α − 1

− 1

)

{\displaystyle \mathbb {Q} \left(\zeta _{2^{\alpha -1}}+\zeta _{2^{\alpha -1}}^{-1}\right)}

para

2

α

∥ m

{\displaystyle 2^{\alpha }\parallel m}

com

α > 3

{\displaystyle \alpha >3}

. A identidade de Selberg:

K ( a , b ; m ) =

∑

d ∣ gcd ( a , b , m )

d ⋅ K

(

a b

d

2

, 1 ;

m d

)

.

{\displaystyle K(a,b;m)=\sum _{d\mid \gcd(a,b,m)}d\cdot K\left({\tfrac {ab}{d^{2}}},1;{\tfrac {m}{d}}\right).}

foi enunciada por Atle Selberg e provada pela primeira vez por Kuznetsov usando a teoria espectral de formas modulares. Atualmente, são conhecidas demonstrações elementares desta identidade. Para

p

{\displaystyle p}

sendo um primo ímpar, não há nenhuma fórmula simples conhecida para

K ( a , b ; p )

{\displaystyle K(a,b;p)}

, e a Conjectura de Sato-Tate sugere que nenhuma exista. As fórmulas de levantamento abaixo, no entanto, são frequentemente tão boas quanto uma avaliação explícita. Se

gcd ( a , p ) = 1

{\displaystyle \gcd(a,p)=1}

, também se tem a importante transformação:

K ( a , a ; p ) =

∑

m = 0

p − 1

(

m

2

− 4

a

2

p

)

e

2 π i m

p

,

{\displaystyle K(a,a;p)=\sum _{m=0}^{p-1}\left({\frac {m^{2}-4a^{2}}{p}}\right)e^{\frac {2\pi im}{p}},}

onde

(

l m

)

{\displaystyle \left({\tfrac {\ell }{m}}\right)}

denota o Símbolo de Jacobi. Seja

m =

p

k

{\displaystyle m=p^{k}}

com

k > 1

{\displaystyle k>1}

,

p

{\displaystyle p}

primo e assuma que

gcd ( p , 2 a b ) = 1

{\displaystyle \gcd(p,2ab)=1}

. Então:

K ( a , b ; m ) =

{

2

(

l m

)

m

Re ⁡

(

ε

m

e

4 π i l

m

)

se

(

a p

)

=

(

b p

)

0

caso contrário

{\displaystyle K(a,b;m)={\begin{cases}2\left({\frac {\ell }{m}}\right){\sqrt {m}}\operatorname {Re} \left(\varepsilon _{m}e^{\frac {4\pi i\ell }{m}}\right)&{\text{se }}\left({\tfrac {a}{p}}\right)=\left({\tfrac {b}{p}}\right)\\0&{\text{caso contrário}}\end{cases}}}

onde

l

{\displaystyle \ell }

é escolhido de modo que

l

2

≡ a b

( mod

m )

{\displaystyle \ell ^{2}\equiv ab{\pmod {m}}}

e

ε

m

{\displaystyle \varepsilon _{m}}

é definido da seguinte forma (note que

m

{\displaystyle m}

é ímpar):

ε

m

=

{

1

m ≡ 1

( mod

4 )

i

m ≡ 3

( mod

4 )

{\displaystyle \varepsilon _{m}={\begin{cases}1&m\equiv 1{\pmod {4}}\\i&m\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}}

Esta fórmula foi encontrada pela primeira vez por Hans Salié e existem muitas demonstrações simples na literatura.

Estimativas Como as somas de Kloosterman ocorrem na expansão de Fourier de formas modulares, as estimativas para as somas de Kloosterman também produzem estimativas para os coeficientes de Fourier de formas modulares. A estimativa mais famosa deve-se a André Weil e afirma:

|

K ( a , b ; m )

|

≤ τ ( m )

gcd ( a , b , m )

m

.

{\displaystyle |K(a,b;m)|\leq \tau (m){\sqrt {\gcd(a,b,m)}}{\sqrt {m}}.}

Aqui,

τ ( m )

{\displaystyle \tau (m)}

é o número de divisores positivos de

m

{\displaystyle m}

. Devdue às propriedades multiplicativas das somas de Kloosterman, essas estimativas podem ser reduzidas ao caso em que

m

{\displaystyle m}

é um número primo

p

{\displaystyle p}

. Uma técnica fundamental de Weil reduz a estimativa

|

K ( a , b ; p )

|

≤ 2

p

,

{\displaystyle |K(a,b;p)|\leq 2{\sqrt {p}},}

quando

a b ≠ 0

{\displaystyle ab\neq 0}

, aos seus resultados sobre funções zeta locais. Geometricamente, a soma é feita ao longo de uma 'hipérbole'

X Y = a b

{\displaystyle XY=ab}

e consideramos isso como a definição de uma curva algébrica sobre o corpo finito com

p

{\displaystyle p}

elementos. Esta curva possui um recobrimento de Artin-Schreier ramificado

C

{\displaystyle C}

, e Weil mostrou que a função zeta local de

C

{\displaystyle C}

possui uma fatoração; esta é a teoria da função L de Artin para o caso de corpos globais que são corpos de funções, para a qual Weil dá um artigo de 1938 de J. Weissinger como referência (no ano seguinte ele deu um artigo de 1935 de Helmut Hasse como referência anterior para a ideia; dado o comentário bastante depreciativo de Weil sobre a capacidade dos teóricos analíticos dos números de resolverem este exemplo sozinhos, em seus Collected Papers, essas ideias eram presumivelmente 'folclore' de longa data). Os fatores não polares são do tipo

1 − K t

{\displaystyle 1-Kt}

, onde

K

{\displaystyle K}

é uma soma de Kloosterman. A estimativa segue então do trabalho básico de Weil de 1940. Esta técnica, de fato, mostra de forma muito mais geral que somas exponenciais completas 'ao longo' de variedades algébricas possuem boas estimativas, dependendo das Conjecturas de Weil em dimensão > 1. Ela foi levada muito mais adiante por Pierre Deligne, Gérard Laumon e Nicholas Katz.

Somas de Kloosterman curtas As somas de Kloosterman curtas são definidas como somas trigonométricas da forma

∑

n ∈ A

exp ⁡

(

2 π i

a

n

∗

+ b n

m

)

,

{\displaystyle \sum _{n\in A}\exp \left(2\pi i{\frac {an^{*}+bn}{m}}\right),}

onde

n

{\displaystyle n}

percorre um conjunto

A

{\displaystyle A}

de números, coprimos com

m

{\displaystyle m}

, sendo o número de elementos

|

A

|

{\displaystyle |A|}

essencialmente menor que

m

{\displaystyle m}

, e o símbolo

n

∗

{\displaystyle n^{*}}

denota a classe de congruência inversa de

n

{\displaystyle n}

módulo

m

{\displaystyle m}

:

n

n

∗

≡ 1

( mod

m )

.

{\displaystyle nn^{*}\equiv 1{\pmod {m}}.}

Até o início da década de 1990, as estimativas para somas desse tipo eram conhecidas principalmente no caso em que o número de somandos era maior que

m

{\displaystyle {\sqrt {m}}}

. Tais estimativas deveram-se a H. D. Kloosterman, I. M. Vinogradov, H. Salié, L. Carlitz, S. Uchiyama e A. Weil. As únicas exceções eram os módulos especiais da forma

m =

p

α

{\displaystyle m=p^{\alpha }}

, onde

p

{\displaystyle p}

é um primo fixo e o expoente

α

{\displaystyle \alpha }

cresce ao infinito (este caso foi estudado por A. G. Postnikov por meio do método de I. M. Vinogradov). Na década de 1990, Anatolii Alexeevitch Karatsuba desenvolveu um novo método para estimar somas de Kloosterman curtas. O método de Karatsuba torna possível estimar as somas de Kloosterman nas quais o número de somandos não excede

m

ε

{\displaystyle m^{\varepsilon }}

e, em alguns casos, até mesmo

exp ⁡ { ( ln ⁡ m

)

2

/

3 + ε

}

{\displaystyle \exp\{(\ln m)^{2/3+\varepsilon }\}}

, onde

ε > 0

{\displaystyle \varepsilon >0}

é um número fixo arbitrariamente pequeno. O último artigo de A. A. Karatsuba sobre este assunto foi publicado após sua morte. Vários aspectos do método de Karatsuba encontraram aplicações na resolução dos seguintes problemas da teoria analítica dos números:

encontrar a assintótica das somas de partes fracionárias da forma:

∑

n ≤ x

′

{

a

n

∗

+ b n

m

}

,

∑

p ≤ x

′

{

a

p

∗

+ b p

m

}

,

{\displaystyle {\sum _{n\leq x}}'\left\{{\frac {an^{*}+bn}{m}}\right\},{\sum _{p\leq x}}'\left\{{\frac {ap^{*}+bp}{m}}\right\},}

onde

n

{\displaystyle n}

percorre, um após o outro, os números inteiros que satisfazem a condição

( n , m ) = 1

{\displaystyle (n,m)=1}

, e

p

{\displaystyle p}

percorre os primos que não dividem o módulo

m

{\displaystyle m}

(A. A. Karatsuba); encontrar o limite inferior para o número de soluções de inequações da forma:

α <

{

a

n

∗

+ b n

m

}

≤ β

{\displaystyle \alpha <\left\{{\frac {an^{*}+bn}{m}}\right\}\leq \beta }

nos inteiros

n , 1 ≤ n ≤ x

{\displaystyle n,1\leq n\leq x}

, coprimos com

m

{\displaystyle m}

,

x <

m

{\displaystyle x<{\sqrt {m}}}

(A. A. Karatsuba); a precisão da aproximação de um número real arbitrário no segmento

[ 0 , 1 ]

{\displaystyle [0,1]}

por partes fracionárias da forma:

{

a

n

∗

+ b n

m

}

,

{\displaystyle \left\{{\frac {an^{*}+bn}{m}}\right\},}

onde

1 ≤ n ≤ x , ( n , m ) = 1 , x <

m

{\displaystyle 1\leq n\leq x,(n,m)=1,x<{\sqrt {m}}}

(A. A. Karatsuba); uma constante

c

{\displaystyle c}

mais precisa no Teorema de Brun-Titchmarsh:

π ( x ; q , l ) <

c x

φ ( q ) ln ⁡

2 x

q

,

{\displaystyle \pi (x;q,l)<{\frac {cx}{\varphi (q)\ln {\frac {2x}{q}}}},}

onde

π ( x ; q , l )

{\displaystyle \pi (x;q,l)}

é o número de primos

p

{\displaystyle p}

, não excedendo

x

{\displaystyle x}

e pertencentes à progressão aritmética

p ≡ l

mod

q

{\displaystyle p\equiv l{\bmod {q}}}

(J. Friedlander, H. Iwaniec); um limite inferior para o maior divisor primo do produto de números da forma:

n

3

+ 2 , N < n ≤ 2 N

{\displaystyle n^{3}+2,N<n\leq 2N}

(D. R. Heath-Brown); provar que existem infinitos primos da forma:

a

2

+

b

4

{\displaystyle a^{2}+b^{4}}

(J. Friedlander, H. Iwaniec); propriedades combinatórias do conjunto de números (A. A. Glibichuk):

n

∗

mod

m

, 1 ≤ n ≤

m

ε

.

{\displaystyle n^{*}{\bmod {m}},1\leq n\leq m^{\varepsilon }.}

Levantamento de somas de Kloosterman Embora as somas de Kloosterman não possam ser calculadas em geral, elas podem ser "levantadas" para corpos de números algébricos, o que frequentemente produz fórmulas mais convenientes. Seja

τ

{\displaystyle \tau }

um número inteiro livre de quadrados com

gcd ( τ , m ) = 1

{\displaystyle \gcd(\tau ,m)=1}

. Assuma que para qualquer fator primo

p

{\displaystyle p}

de

m

{\displaystyle m}

temos

(

τ p

)

= − 1.

{\displaystyle \left({\frac {\tau }{p}}\right)=-1.}

Então, para todos os inteiros

a , b

{\displaystyle a,b}

coprimos com

m

{\displaystyle m}

temos

K ( a , b ; m ) = ( − 1

)

Ω ( m )

∑

v

2

− τ

w

2

≡ a b

mod

m

v , w

mod

m

e

4 π i v

m

.

{\displaystyle K(a,b;m)=(-1)^{\Omega (m)}\sum _{\stackrel {v,w{\bmod {m}}}{v^{2}-\tau w^{2}\equiv ab{\bmod {m}}}}e^{\frac {4\pi iv}{m}}.}

Aqui,

Ω ( m )

{\displaystyle \Omega (m)}

é o número de fatores primos de

m

{\displaystyle m}

contando a multiplicidade. A soma à direita pode ser reinterpretada como uma soma sobre inteiros algébricos no corpo

Q

(

τ

)

{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {\tau }})}

. Esta fórmula deve-se a Yangbo Ye, inspirada por Don Zagier e estendendo o trabalho de Hervé Jacquet e Ye na fórmula do traço relativa para

G L

( 2 )

{\displaystyle \mathrm {GL} (2)}

. De fato, somas exponenciais muito mais gerais podem ser levantadas.

Fórmula do traço de Kuznetsov

A fórmula de Kuznetsov ou do traço relativo conecta as somas de Kloosterman em um nível profundo com a teoria espectral de funções automórficas. Originalmente, isso poderia ter sido enunciado da seguinte forma. Seja

g :

R

→

R

{\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }

uma função suficientemente "bem-comportada". Então, chamam-se identidades do seguinte tipo de fórmula do traço de Kuznetsov:

∑

c ≡ 0

mod

N

c

− r

K ( m , n , c ) g

(

4 π

m n

c

)

=

Transformada integral

+

Termos espectrais

.

{\displaystyle \sum _{c\equiv 0{\bmod {N}}}c^{-r}K(m,n,c)g\left({\frac {4\pi {\sqrt {mn}}}{c}}\right)={\text{Transformada integral}}+{\text{Termos espectrais}}.}

A parte da transformada integral é alguma transformada integral de

g

{\displaystyle g}

e a parte espectral é uma soma de coeficientes de Fourier, tomada sobre espaços de formas modulares holomorfas e não holomorfas torcidas com alguma transformada integral de

g

{\displaystyle g}

. A fórmula do traço de Kuznetsov foi encontrada por Kuznetsov enquanto estudava o crescimento de funções automórficas de peso zero. Usando estimativas em somas de Kloosterman, ele foi capaz de derivar estimativas para coeficientes de Fourier de formas modulares em casos onde a demonstração de Pierre Deligne das Conjecturas de Weil não era aplicável. Ela foi posteriormente traduzida por Jacquet para um arcabouço da teoria de representação. Seja

G

{\displaystyle G}

um grupo redutivo sobre um corpo de números

F

{\displaystyle F}

e

H ⊂ G

{\displaystyle H\subset G}

um subgrupo. Enquanto a fórmula do traço de Selberg usual estuda a análise harmônica em

G

{\displaystyle G}

, a fórmula do traço relativo é uma ferramenta para estudar a análise harmônica no espaço simétrico

G

/

H

{\displaystyle G/H}

. Para uma visão geral e inúmeras aplicações, veja as referências.

História A estimativa de Weil pode agora ser estudada em W. M. Schmidt, Equations over finite fields: an elementary approach, 2a ed. (Kendrick Press, 2004). As ideias subjacentes aqui devem-se a S. Stepanov e inspiram-se no trabalho de Axel Thue em aproximação diofantina. Existem muitas conexões entre as somas de Kloosterman e as formas modulares. De fato, as somas apareceram pela primeira vez (sem o nome) em um artigo de 1912 de Henri Poincaré sobre formas modulares. Hans Salié introduziu uma forma de soma de Kloosterman que é torcida por um caráter de Dirichlet: Tais somas de Salié possuem uma avaliação elementar. Após a descoberta de importantes fórmulas conectando as somas de Kloosterman com formas modulares não holomorfas por Kuznetsov em 1979, que continham alguns 'ganhos na média' sobre a estimativa de raiz quadrada, houve desenvolvimentos adicionais por Iwaniec e Deshouillers em um artigo seminal na Inventiones Mathematicae (1982). Aplicações subsequentes à teoria analítica dos números foram elaboradas por uma série de autores, particularmente Bombieri, Fouvry, Friedlander e Iwaniec. O campo permanece um tanto inacessível. Uma introdução detalhada à teoria espectral necessária para compreender as fórmulas de Kuznetsov é dada em R. C. Baker, Kloosterman Sums and Maass Forms, vol. I (Kendrick Press, 2003). Também relevante para estudantes e pesquisadores interessados na área é Iwaniec & Kowalski (2004). Yitang Zhang usou somas de Kloosterman em sua demonstração de lacunas limitadas entre primos.

Ver também Limite de Hasse

Referências

Bibliografia Arkhipov, G.I.; Chubarikov, V.N.; Karatsuba, A.A. (2004). Trigonometric sums in number theory and analysis. Col: de Gruyter Expositions in Mathematics. 39. Berlim–Nova York: Walter de Gruyter. ISBN 3-11-016266-0 Iwaniec, Henryk; Kowalski, Emmanuel (2004). Analytic number theory. Col: Colloquium Publications. 53. [S.l.]: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3633-1 Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997). Finite fields. Col: Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 20 2a ed. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 0-521-39231-4 Weil, André (1948). «On some exponential sums». Proc. Natl. Acad. Sci. 34 (5): 204–207. doi:10.1073/pnas.34.5.204

Ligações externas Soma de Kloosterman no MathWorld (em inglês) Limiar de Bombieri-Weil na Encyclopedia of Mathematics (em inglês)